[解法-脱掉lim]

第一步（脱帽）： 既然 $\lim f(x) = 1$ ，立马令 $f(x) = 1 + \alpha$ （其中 $\alpha \to 0$ ）。

第二步（代入降维）：把所有的 $f(x)$ 全部替换成 $1 + \alpha$ ：

分子变成： $e^{(1+\alpha) - 1} - 1 = e^\alpha - 1$

分母变成： $(1+\alpha)^2 - (1+\alpha) = 1 + 2\alpha + \alpha^2 - 1 - \alpha = \alpha + \alpha^2 = \alpha(1+\alpha)$

原极限瞬间变成了： $\lim_{\alpha \to 0} \frac{e^\alpha - 1}{\alpha(1+\alpha)}$

第三步（等价无穷小秒杀）：

使用等价无穷小，当 $\alpha \to 0$ 时， $e^\alpha - 1 \sim \alpha$ 。

分子直接砍掉 $e$ ，换成 $\alpha$ ！原式 $= \lim_{\alpha \to 0} \frac{\alpha}{\alpha(1+\alpha)}$ 。上下约掉 $\alpha$ ，剩下 $\lim_{\alpha \to 0} \frac{1}{1+\alpha} = 1$ 。 一剑封喉！

（注意：等价无穷小替换会在后续章节学习，这里先用着）

第四节——无穷小 与 无穷大

第四节——无穷小与无穷大